Теорема Виета

разработала учитель математики высшей категории

Поставская Т.П.

Цели урока:

1.  Общеобразовательные:

     -доказать теорему Виета и теорему, обратную ей;

     -ознакомить учащихся  с применением этих теорем при   решении квадратных уравнений и при проверке найденных корней.

2.  Развивающие:

     -развитие активности учащихся;

     -формирование учебно-познавательных действий при выявлении закономерностей.

3.  Воспитательные:

     -формирование умений по корректированию своих ответов и ответов товарищей;

     -формирование умений школьников по проведению дискуссии по обсуждаемым вопросам.

 

Ход урока:

   I.        Объяснение нового материала.

 

      1) Вступительное слово учителя.

         Ребята! Сегодня на уроке мы займемся установлением закономерностей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Впервые эту закономерность открыл Франсуа Виет (1540-1603). Этот ученый ввел систему алгебраических символов,  разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

         Теорема, изучением которой мы займемся, так и называется: «Теорема Виета».   

       2) Учитель предлагает учащимся решить приведенные квадратные уравнения по формуле и заполнить таблицу:

Уравнение

Корни x1 и x2

     x1 + x2

   x1  x2

x2-2x-3=0

x2+5x-6=0

x2-x-12=0

x2+7x+12=0

x2-8x+15=0

 

 

 

 

        Учитель: Ребята! Попробуйте сформулировать закономерность  между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

        Ученик: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

         Учитель: А теперь докажем, что таким свойством обладает любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни.

     Дано приведенное квадратное уравнение  x2+px+q=0. Решим его.

      D=p2-4q. Пусть D>0, тогда 

 

       , т.е.                                         

 

      Найдем сумму и произведение корней:

 

 

 

 

      Вывод:    x1 + x2 = -p;    x1  x2 =q

      При D=0 будем считать, что квадратное уравнение имеет два равных корня.

      Вопрос: Чему равны сумма и произведение корней произвольного квадратного уравнения?

       Ответ: Заменим произвольное квадратное уравнение ax2+bx+c=0 равносильным ему приведенным:                                      и тогда

            

              ,  

 

      Учитель: А теперь давайте попробуем сформулировать обратную теорему.

       Ученик: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения x2+px+q=0.

        Учитель предлагает учащимся разобрать доказательство обратной теоремы дома самостоятельно.

         Далее учитель показывает применение теоремы Виета и теоремы, обратной ей.

         Пример 1. Найти сумму и произведение корней уравнения

                            3x2-5x+2=0

         Найдем D. D=25-4 3 2=1, D>0, значит , уравнение имеет два корня. По теореме Виета 

                                                 ,

 

          Пример 2. Угадать корни уравнения:

                   а) x2+5x+6=0            ( -3  и -2)

                   б) x2+x-2=0               ( -2 и 1)

                   в) x2-15x+56=0          (7 и 8)

 

           Пример 3. Составить квадратное уравнение по следующим корням: x1=6, x2= -2.

             Найдем x1+x2=6-2=4

                           x1 x2=6(-2)= -12

             Искомое уравнение имеет вид:    x2-4x-12=0.

 

    II.      Закрепление нового материала. 

 

№573

а) x2-37x+27=0                                       д) 2x2-9x-10=0

    D=1369-4 27=1261>0                             D=92+4 2 10>0

    x1+x2=37,   x1 x2 =27                               x1+x2=    ,    x1x2= -5

б) y2+41y-371=0                                     е) 5x2+12x+7=0

    D=412+4 371>0                                      D=122-4 5 7=4>0

    y1+y2= -41,   y1 y2= -371                         x1+x2=    ,   x1x2=

в) x2-210x=0                                           ж) –z2+z=0

    D=2102- 4 1 0>0                                     D=1+4 1 0 =1>0

    x1+x2=210,   x1x2=0                                 z1+z2=1,     z1z2=0

г) y2-19=0                                               з) 3x2-10=0

   D=02+4 19>0                                           D=1+4 3 10=121>0

    y1+y2=0,   y1y2= -19                                x1+x2=0,     x1x2=

 

    

№574

 

  III.      Домашнее задание.      №575, №568

 

  IV. Итоги урока.  Выставление оценок. Повторение формулировки теоремы Виета.

Hosted by uCoz